Что делать с собакой, которая ничего, кроме кошек, не хочет видеть.

Завести пару кошек дома)))) А может он в прошлой жизни был кошкой))) Интересно, а что он хочет? съесть или поиграть?
Честно, первый раз такое слышу.
Есть такое явление "запечатление" (или импридинг). Я не знаю откуда и ка у Вас появился Рекс, где и с кем он жил.
Кого гусята увидели в первый момент вылупливания, тот их и мама (хоть красный мяч). Открыл это явление Конрад Лоренц. Его книга "Кольцо царя Соломона" написана великолепно, о сложных вещах просто и смешно. Может быть там где он родился ему много внимания уделяли именно кошки. Тогда он их считает членами своей стаи, может быть и родителями. В таком случае, думаю, что оптимальным решением проблемы завести пару кошек, с которыми он будет совершенно счастлив. В Вас он будет видеть тогда хозяина, друга, а в кошках - родителей и главарей стаи.
так что хотите счастья свой собаки, то подберите ему пару кошек, разумеется породистых не надо, самых обычных. Они может и в будке с ним будут жить, только сразу кастрируйте-стерилизуйте. У нас в ветклинике есть группа волонтёров, они за свой счёт стерилизуют-кастрируют и пытаются устроить в хорошие руки (ну, или лапы...)
Прочите книгу Лоренца, там нет ответа на Ваш вопрос, попробую поискать ответ, но не уверена.
Если это так как я думаю, то кошек он будет любить всю жизнь, как можно не любить хороших родителей?